Question

公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃=7，且a₂，a₄，a₉成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设a_n=b_n+1-b_n，b₁=1，求数列{b_n}的通项公式．

Answer

（1）由等差数列{an}中a2，a4，a9成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，再利用等差数列的通项公式化简，得出首项与公差的关系，根据a3的值，确定出首项与公差，即可得到等差数列的通项公式；
（2）分别把n=1，2，…，n-1代入an=bn+1-bn，等式左右两边分别相加，左边利用等差数列的求和公式化简，右边抵消合并后将b1的值代入，整理后即可得到数列{bn}的通项公式．
【解析】
（1）∵等差数列{an}中，a2，a4，a9成等比数列，
∴a42=a2•a9，即（a1+3d）2=（a1+d）（a1+8d），
整理得：6a1d+9d2=9a1d+8d2，即d2=3a1d，
∵d≠0，∴d=3a1，
又a3=a1+2d=7a1=7，
∴a1=1，d=3，
则数列{an}的通项公式为an=1+3（n-1）=3n-2；
（2）∵b1=1，an=3n-2，an=bn+1-bn，
∴a1=b2-b1，a2=b3-b2，…，an-1=bn-bn-1，
∴a1+a2+••+an-1=bn-b1，即==bn-1，
则bn=+1=．