Question

已知O是△ABC的外心，若，且，则λ+μ=    ．

Answer

建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线 m方程和AC的中垂线 n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求λ和μ 的值．
【解析】
如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：
则A（0，0），B （2，0），C（-，），
∵O为△ABC的外心，
∴O在AB的中垂线 m：x=1 上，又在AC的中垂线 n 上，
AC的中点（-，），AC的斜率为-，
∴中垂线n的方程为 y-=（x+）．
把直线 m和n 的方程联立方程组解得△ABC的外心O（1，），
由条件  得
（1，）=λ（2，0）+μ（-，）=（2λ-，），
∴2λ-=1，=．
解得 λ=，μ=，∴λ+μ=，
故答案为 ．