Question

已知点F是椭圆的右焦点，过原点的直线交椭圆于点A、P，PF垂直于x轴，直线AF交椭圆于点B，PB⊥PA，则该椭圆的离心率e=    ．

Answer

由题意得该椭圆的形状确定，与大小无关．因此设a=1，得P（c，b2），从而A（-c，-b2），可得到直线AF的方程为：y=（x-c），与椭圆方程联解得出点B（，），由此得出PB的斜率k1，并化简得k1=-2c，结合PA的斜率k2=且PB⊥PA，由k1k2=-1列式并解之，可得b=c=，最终得出该椭圆的离心率e．
【解析】
根据题意椭圆的离心率为定值，故椭圆的形状确定，与大小无关
因此设a=1，得椭圆的方程为，
求出椭圆的半焦距c，即得椭圆的离心率．
由F（c，0）及PF⊥x轴，得P（c，b2）
∵PA的中点为坐标原点O
∴A的坐标为（-c，-b2），得直线AF的斜率k==
∴直线AF的方程为：y=（x-c）
由联解，得B的横坐标xB=，
将b2=1-c2代入，化简得xB=，代入直线AF方程，得B的纵坐标yB=
∴直线PB的斜率k1==-2c
∵PA的斜率k2=，且PB⊥PA，
∴k1k2=-1，得-2c•=-1，解之得b=c=
因此，该椭圆的离心率e==
故答案为：