Question

已知函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，函数．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，则a=    ．

Answer

根据函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数，可得f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立，从而f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，进而可得参数的范围；利用函数．当x∈[0，ln3]时，函数g（x）的最大值M与最小值m的差为，可求参数的值，从而可得结论．
【解析】
∵f（x）=-xlnx+ax，∴f'（x）=-lnx+a-1
∵函数f（x）=-xlnx+ax在（0，e）上是增函数
∴f'（x）=-lnx+a-1≥0在（0，e）恒成立
∵y=-lnx是（0，e）上的减函数
∴f'（x）=-lnx+a+1的最小值大于等于0即可，即-1+a-1≥0
∴a≥2

∵x∈[0，ln3]，∴ex∈[1，3]
∴ex=a时，函数取得最小值为
∵x=0时，；x=ln3时，
∴a＜2时，函数g（x）的最大值M=；a≥2时，函数g（x）的最大值M=
∵函数g（x）的最大值M与最小值m的差为
∴a＜2时，；a≥2时，
∴a=或a=
综上知，a=
故答案为：