Question

已知点在双曲线上，圆C：（x-a）²+（y-b）²=r²（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4．
（Ⅰ）求双曲线M的方程；
（Ⅱ）求圆C的方程；
（Ⅲ）过圆C内一定点Q（s，t）（不同于点C）任作一条直线与圆C相交于点A、B，以A、B为切点分别作圆C的切线PA、PB，求证：点P在定直线l上，并求出直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）由点在双曲线上，点（1，2）在双曲线M的一条渐近线上，建立方程组，即可求得双曲线M的方程；
（Ⅱ）利用圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4，建立方程组，即可求得圆C的方程；
（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则求出在点A、点B的切线方程，两方程相减，利用Q，A，B三点共线，化简，即可得到结论．
（Ⅰ）【解析】
由题意，点在双曲线上，点（1，2）在双曲线M的一条渐近线上，则，∴m=1，n=2，∴双曲线M的方程为；
（Ⅱ）【解析】
∵圆C：（x-a）2+（y-b）2=r2（a＞0，b∈R，r＞0）与双曲线M的一条渐近线相切于点（1，2），且圆C被x轴截得的弦长为4
∴
∴a=3，b=1，r=
∴圆C的方程为（x-3）2+（y-1）2=5；
（Ⅲ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），则在点A的切线方程为（x1-3）（x-3）+（y1-1）（y-1）=5
在点B的切线方程为（x2-3）（x-3）+（y2-1）（y-1）=5
两方程相减可得（x1-x2）（x-3）+（y1-y2）（y-1）=0
∵Q，A，B三点共线
∴（x1-x2）（t-y1）-（y1-y2）（s-x1）=0
∴（x1-s）（x-3）+（y1-t）（y-1）=0
∴（x1-3+3-s）（x-3）+（y1-1+1-t）（y-1）=0
∴（3-s）（x-3）+（1-t）（y-1）+（x1-3）（x-3）+（y1-1）（y-1）=0
∴（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0
∴点P在定直线l上，直线l的方程为（s-3）x+（t-1）y-3s-t+5=0．