Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足b_n=a_n+1-a_n，其中n=1，2，3，…．
（Ⅰ）若a₁=1，b_n=n，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n+1b_n-1=b_n（n≥2），且b₁=1，b₂=2．
（ⅰ）记c_n=a_6n-1（n≥1），求证：数列{c_n}为等差数列；
（ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．求a₁应满足的条件．

Answer

（Ⅰ）根据数列的基本性质以及题中已知条件便可求出数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）（ⅰ）先根据题中已知条件推导出bn+6=bn，然后求出cn+1-cn为定值，便可证明数列{cn}为等差数列；
（ⅱ）数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列，然后分别讨论当时和当时，数列是否满足题中条件，便可求出a1应满足的条件．
【解析】
（Ⅰ）当n≥2时，
有an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）
=a1+b1+b2+…+bn-1（2分）
=．（3分）
又因为a1=1也满足上式，
所以数列{an}的通项为．（4分）
（Ⅱ）由题设知：bn＞0，对任意的n∈N*有bn+2bn=bn+1，bn+1bn+3=bn+2得bn+3bn=1，
于是又bn+3bn+6=1，故bn+6=bn（5分）
∴b6n-5=b1=1，b6n-4=b2=2，b6n-3=b3=2，b6n-2=b4=1，
（ⅰ）cn+1-cn=a6n+5-a6n-1=b6n-1+b6n+b6n+1+b6n+2+b6n+3+b6n+4=（n≥1），
所以数列{cn}为等差数列．（7分）
（ⅱ）设dn=a6n+i（n≥0），（其中i为常数且i∈{1，2，3，4，5，6}），
所以dn+1-dn=a6n+6+i-a6n+i=b6n+i+b6n+i+1+b6n+i+2+b6n+i+3+b6n+i+4+b6n+i+5=7（n≥0）
所以数列{a6n+i}均为以7为公差的等差数列．（9分）
设，
（其中n=6k+i（k≥0），i为{1，2，3，4，5，6}中的一个常数），
当时，对任意的n=6k+i有=；（10分）
由，i∈{1，2，3，4，5，6}知；
此时重复出现无数次．
当时，=
①若，则对任意的k∈N有fk+1＜fk，所以数列为单调减数列；
②若，则对任意的k∈N有fk+1＞fk，所以数列为单调增数列；
（12分）（i=1，2，3，4，5，6）均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次，
即数列中任意一项的值最多出现六次．
综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次．
当a1∉B时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次．（14分）