Question

已知多项式．
（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值；
（Ⅱ）试探求对一切整数n，f（n）是否一定是整数？并证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）求f（-1）及f（2）的值，直接代入计算即可；
（Ⅱ）先证明：对一切正整数n，f（n）是整数．分两步，其中第二步是关键，利用二项式定理，结合假设可证；再证明n=0时，成立；当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由n为正整数时，成立即可．
【解析】
（Ⅰ）f（-1）=

（Ⅱ）（1）先用数学归纳法证明：对一切正整数n，f（n）是整数．
①当n=1时，f（1）=1，结论成立．
②假设当n=k（k≥1，k∈N）时，结论成立，即是整数，则当n=k+1时，=
=f（k）+k4+4k3+6k2+4k+1
根据假设f（k）是整数，而k4+4k3+6k2+4k+1显然是整数．
∴f（k+1）是整数，从而当n=k+1时，结论也成立．
由①、②可知对对一切正整数n，f（n）是整数．…（7分）
（2）当n=0时，f（0）=0是整数．…（8分）
（3）当n为负整数时，令n=-m，则m是正整数，由（1）f（m）是整数，
所以==-f（m）+m4是整数．
综上，对一切整数n，f（n）一定是整数．…（10分）