Question

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4，AB=2，PB=2，PD=4，E是PD的中点．
（1）求证：AE⊥平面PCD；
（2）若F是线段BC的中点，求三棱锥F-ACE的体积．

Answer

（1）根据勾股定理的逆定理，可得PA⊥AD且PA⊥AB，得PA⊥平面ABCD，从而平面PAD⊥平面ABCD．结合面面垂直的性质，得CD⊥平面PAD，所以CD⊥AE．最后结合等腰直角△PAD的中线AE⊥PD，得AE⊥平面PCD；
（2）连接FA、FE，取AD的中点K，连接EK．根据三角形中位线定理，得到EK∥PA且EK=PA=2，得EK⊥平面ABCD，即EK是三棱锥E-AFC的高线．由此结合题中数据，算出三棱锥E-AFC的体积，即得三棱锥F-ACE的体积．
【解析】
（1）∵PA2+AD2=32=PD2，
∴∠PAD=90°，结合PA=AD得△PAD是等腰Rt△
又∵PA2+AB2=20=PB2，∴PA⊥AB
∵PA⊥AD且AB、AD是平面ABCD内的相交直线
∴PA⊥平面ABCD
∵PA⊆平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD
∵平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD
∵AE⊆平面PAD，∴CD⊥AE
∵等腰Rt△PAD中，E是斜边AD上的中线，∴AE⊥PD
∵PD、CD是平面PCD内的相交直线，
∴AE⊥平面PCD；
（2）连接FA、FE，取AD的中点K，连接EK
∵△PAD中，EK是中位线，∴EK∥PA且EK=PA=2
∵PA⊥平面ABCD，
∴EK⊥平面ABCD，得EK是三棱锥E-AFC的高线
∴V三棱锥E-AFC=×S△AFC×EK=×××4×2×2=
∵V三棱锥E-AFC=V三棱锥F-ACE
∴V三棱锥F-ACE=，即三棱锥F-ACE的体积是．