Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，=（2a，1），=（2b-c，cosC）且∥．
求：
（I）求sinA的值；
（II）求三角函数式的取值范围．

Answer

（I）根据向量平行的充要条件列式：2b-c=2acosC，结合正弦定理与两角和的正弦公式，化简可得2cosAsinC=sinC，最后用正弦的诱导公式化简整理，可得cosA=，从而得到sinA的值；
（II）将三角函数式用二倍角的余弦公式结合“切化弦”，化简整理得sin（2C-），再根据A=算出C的范围，得到sin（2C-）的取值范围，最终得到原三角函数式的取值范围．
【解析】
（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b-c），
根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0
∵C是三角形内角，sinC≠0
∴2cosA-1=0，可得cosA=
∵A是三角形内角，
∴A=，得sinA=            …（5分）
（II）==2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，
∴=sin（2C-），
∵A=，得C∈（0，），
∴2C-∈（-，），可得-＜sin（2C-）≤1，
∴-1＜sin（2C-），
即三角函数式的取值范围是（-1，]．     …（11分）