Question

已知函数f（x）=lnax-（a≠0）．
（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；
（Ⅱ）求证：a=1时，对于任意正整数n，均有1+++…+≥ln；
（Ⅲ）当a=1时，是否存在过点（1，-1）的直线与函数y=f（x）的图象相切？若存在，有多少条？若不存在，说明理由．

Answer

（I）由题意知a≠0，先对函数求导，分a＞0，a＜0讨论函数的定义域及单调区间，从而确定最值．
（II）当a=1时由（I）知函数f（x）的定义域（0，+∞），在（0，1）是减函数，[1，+∞）是增函数，从而有f（x）≥f（1）⇒，分别把x=1，2，3…代入不等式相加可证
（III）假设存在满足条件的直线与函数相切，根据导数的几何意义，求出切线方程，结合导数的知识推导．
（Ⅰ）【解析】
由题意．（1分）
当a＞0时，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上是减函数，在（a，+∞）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（3分）
当a＜0时，函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数在（-∞，a）上是减函数，在（a，0）上是增函数，fmin（x）=f（a）=lna2，无最大值．（5分）
（Ⅱ）取a=1，由（1）知，
故，
取x=1，2，3，，
则．（8分）
（Ⅲ）假设存在这样的切线，设其中一个切点，
切线方程：，将点T坐标代入得：，即，①
设，则．（10分）
∵x＞0，
∴g（x）在区间（0，1），（2，+∞）上是增函数，在区间（1，2）上是减函数，
故g（x）极大值=g（1）=1＞0，g（x）极小值=g（2）=ln2+＞0．
又+12-16-1=-ln4-3＜0，
注意到g（x）在其定义域上的单调性，知g（x）=0仅在内有且仅有一根
所以方程①有且仅有一解，故符合条件的切线有且仅有一条．（12分）