Question

已知双曲线W：的左、右焦点分别为F₁、F₂，点N（0，b），右顶点是M，且，∠NMF₂=120°．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点Q（0，-2）的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F2（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a2-ac=-1，由∠NMF2=120°，知∠NMF1=60°，故b=，c=，由此能求出双曲线的方程．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（3-k2）x2+4kx-7=0，由此入手，能够求出的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知M（a，0），N（b，0），F2（c，0），=（-a，b）•（c-a，0）=a2-ac=-1，
∵∠NMF2=120°，则∠NMF1=60°，
∴b=，∴c=，
解得a=1，b=，∴双曲线的方程为．（4分）
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y=kx-2，设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得（3-k2）x2+4kx-7=0，
则，
解得．     ①（6分）
∵点H（7，0）在以线段AB为直径的圆的外部，则，

=（1+k2）x1x2-（7+2k）（x1+x2）+53
=（1+k2）•-（7+2k）•+53
=＞0，解得k＞2．  ②
由①、②得实数k的范围是2＜k＜，（8分）
由已知，
∵B在A、Q之间，则，且λ＞1，
∴（x1，y1+2）=λ（x2，y2+2），则x1=λx2，
∴，
则=，（10分）
∵2＜k＜，∴4＜，解得，又λ＞1，
∴1＜λ＜7．
故λ的取值范围是（1，7）．（13分）