Question

设函数f（x）=1-e^-x，函数（其中a∈R，e是自然对数的底数）．
（Ⅰ）当a=0时，求函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）设n∈N^*，求证：（其中e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）由f（x）=1-e-x，知f′（x）=-e-x•（-1）=e-x，故函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe-x，h′（x）=（1-x）•e-x，由此能求出函数h（x）=f'（x）•g（x）的极值．
（Ⅱ）由题1-e-x在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1-e-x∈[0，1），知，分类讨论能够得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=时，则，故，由此能证明．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=1-e-x，∴f′（x）=-e-x•（-1）=e-x，
函数h（x）=f′（x）•g（x）=xe-x，
∴h′（x）=（1-x）•e-x，当x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0，
故该函数在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
∴函数h（x）在x=1处取得极大值h（1）=．（4分）
（Ⅱ）由题1-e-x在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e-x∈[0，1），∴，
若x=0，则a∈R，若x＞0，则a＞-恒成立，则a≥0．
不等式恒成立等价于（ax+1）（1-e-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e-x），则μ′（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
又令v（x）=a（1-e-x）+（ax+1）e-x-1，
则v′（x）=e-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①当a=0时，v′（x）=-e-x＜0，
则v（x）在[0，+∞）上单调递减，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单减，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②当a≥0时，．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a时，v′（x）≤0，则v（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上单调递减，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此时f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a时，若0＜x＜时，
v′（x）＞0，则v（x）在（0，）上单调递增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，）上也单调递增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不满足条件．（9分）
综上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立时，实数a的取值范围是[0，]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=时，则，
∴，
当x∈[0，2）时，，∴，
令，则x=，
∴，∴，
∴，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即，当x＞0时，，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=，
综上得≤ln（n!）≤，
即．（14分）