Question

已知点F₁，F₂为双曲线C：x²-=1（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程为x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过圆O上任意一点Q（x，y）作切线l交双曲线C于A，B两个不同点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|；
（3）过双曲线C上一点P作两条渐近线的垂线，垂足分别是P₁和P₂，求的值．

Answer

（1）确定|MF2|=b2，|MF1|=2b2，由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2，从而可得双曲线C的方程；
（2）分类讨论：①当切线l的斜率存在，设切线l的方程代入双曲线C中，利用韦达定理，结合直线l与圆O相切，可得|AB|=2|OM|成立；②当切线l的斜率不存在时，求出A，B的坐标，即可得到结论；
（3）确定两条渐近线方程，设双曲线C上的点P（x，y），求出点P到两条渐近线的距离，利用P（x，y）在双曲线C上，及向量的数量积公式，即可求得结论．
（1）【解析】
设F2，M的坐标分别为（），（）（y＞0）-------------------（1分）
因为点M在双曲线C上，所以1+b2-=1，即，所以|MF2|=b2------------（2分）
在直角△MF2F1中，∠MF1F2=30°，|MF2|=b2，所以|MF1|=2b2------------（3分）
由双曲线的定义可知：|MF1|-|MF2|=b2=2
故双曲线C的方程为：-------------------（4分）
（2）证明：①当切线l的斜率存在
设A（x1，y1），B（x2，y2），切线l的方程为：y=kx+n（k≠）
代入双曲线C中，化简得：（2-k2）x2-2knx-（n2+2）=0
所以|AB|==×-------------------（6分）
因为直线l与圆O相切，所以，代入上式，得|AB|=-----------（7分）
设点M的坐标为（xM，yM），则xM=，yM=，
所以|OM|=-------------------（8分）
即|AB|=2|OM|成立
②当切线l的斜率不存在时，A（），B（）或A（），B（）
此时|AB|=2，|OM|=，即|AB|=2|OM|成立-------------------（10分）
（3）【解析】
由条件可知：两条渐近线分别为l1：，l2：-------------------（11分）
设双曲线C上的点P（x，y），则点P到两条渐近线的距离分别为，
所以=-------------------（13分）
因为P（x，y）在双曲线C上，所以
故=-------------------（14分）
设和的夹角为θ，则cosθ==-------------------（15分）
所以=cosθ=-------------------（16分）