Question

如果存在常数a使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列b_n的项数是n（n≥3），所有项之和是B，求证：数列b_n是“兑换数列”，并用n和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c_n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．

Answer

（1）根据数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，可得a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1，由此可求m和a的值；
（2）由“兑换数列”的定义证明数列{bn}是“兑换数列”，即证对数列{bn}中的任意一项bi（1≤i≤n），a-bi=b1+（n-i）d=bn0+1-i∈{bn}，从而可求数列{bn}所有项之和；
（3）假设存在这样的等比数列{cn}，设它的公比为q（q＞1），可知数列{cn}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则ci+cn+1-i=a（1≤i≤n），再分类讨论，即可得到结论．
（1）【解析】
因为数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”
所以a-m，a-4，a-2，a-1也是该数列的项，且a-m＜a-4＜a-2＜a-1
故a-m=1，a-4=2，即a=6，m=5．
（2）证明：设数列{bn}的公差为d，
因为数列{bn}是项数为n项的有穷等差数列
若b1≤b2≤b3≤…≤bn0，则a-b1≥a-b2≥a-b3≥…≥a-bn0，
即对数列{bn}中的任意一项bi（1≤i≤n），a-bi=b1+（n-i）d=bn0+1-i∈{bn}
同理可得：b1≥b2≥b3≥…≥bn0，a-bi=b1+（n-i）d=bn0+1-i∈{bn}也成立，
由“兑换数列”的定义可知，数列{bn}是“兑换数列”；
又因为数列{bn}所有项之和是B，所以B==，即a=；
（3）【解析】
假设存在这样的等比数列{cn}，设它的公比为q（q＞1），
因为数列{cn}为递增数列，所以c1＜c2＜c3＜…＜cn，则a-c1＞a-c2＞a-c3＞…＞a-cn，
又因为数列{cn}为“兑换数列”，则a-ci∈{cn}，所以a-ci是正整数
故数列{cn}必为有穷数列，不妨设项数为n项，则ci+cn+1-i=a（1≤i≤n）
①若n=3，则有c1+c3=a，c2=，又=c1c3，由此得q=1，与q＞1矛盾
②若n≥4，由c1+cn=c2+cn-1，得c1-c1q+c1qn-1-c1qn-2=0
即（q-1）（1-qn-2）=0，故q=1，与q＞1矛盾；
综合①②得，不存在满足条件的数列{cn}．