Question

如图，在多面体ABC-A₁B₁C₁中，四边形A₁ABB₁是正方形，AB=AC，，，二面角A₁-AB-C是直二面角．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面 A₁C₁C；
（Ⅱ）求BC与平面A₁C₁C所成角的正弦值．

Answer

（Ⅰ）取BC中点D，连接AD，B1D，C1D，证明AD∥平面A1C1C，B1D∥平面A1C1C，可得平面ADB 1∥平面A1C1C，从而可证AB1∥平面A1C1C；         
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面A1C1C的一个法向量，=（-2，2，0），利用向量的夹角公式，即可求得BC与平面A1C1C所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明：取BC中点D，连接AD，B1D，C1D．

因为，所以B1C1DB是平行四边形，
所以．
又，∴，
所以A1ADC1是平行四边形
所以A1C1∥AD，所以AD∥平面A1C1C；
同理，B1D∥平面A1C1C；
又因为B1D∩AD=D，所以平面ADB 1∥平面A1C1C；
因为AB1⊂平面ADB 1，
所以AB1∥平面A1C1C；         …（6分）
（Ⅱ）【解析】
因为AB=AC，BC=AB，所以AB2+AC2=BC2，所以AB⊥AC
∵二面角A1-AB-C是直二面角，且四边形AA1B1B是正方形
∴AA1⊥平面ABC，
建立如图所示的坐标系，

设AB=2，则A（0，0，0），B（0，2，0），A1（0，0，2），C（2，0，0），C1（1，1，2）
∴，=（2，0，-2）
设平面A1C1C的一个法向量为
由，可得，∴可取
∵=（-2，2，0），∴cos===-
∴BC与平面A1C1C所成角的正弦值为．