Question

在直角坐标系xOy中，长为的线段的两端点C、D分别在x轴、y轴上滑动，．记点P的轨迹为曲线E．
（I）求曲线E的方程；
（II）经过点（0，1）作直线l与曲线E相交于A、B两点，，当点M在曲线E上时，求的值．

Answer

（Ⅰ）设C、D、P的坐标，利用，确定坐标之间的关系，由|CD|=+1，得m2+n2=（+1）2，从而可得曲线E的方程；
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），由知点M坐标为（x1+x2，y1+y2）．设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，利用韦达定理及点M在曲线E上，求得k2=2，再利用向量的数量积公式，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）设C（m，0），D（0，n），P（x，y）．
由，得（x-m，y）=（-x，n-y），
∴x-m=-x，y=（n-y），
由|CD|=+1，得m2+n2=（+1）2，
∴（+1）2x2+=（+1）2，
整理，得曲线E的方程为x2+=1
（II）设A（x1，y1），B（x2，y2），
由知点M坐标为（x1+x2，y1+y2）．
设直线l的方程为y=kx+1，代入曲线E方程，得（k2+2）x2+2kx-1=0，
则x1+x2=-，x1x2=-，
y1+y2=k（x1+x2）+2=，
由点M在曲线E上，知（x1+x2）2+=1，
即（-）2+=1
解得k2=2．
∴x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+k（）+1=-
∴=-．