Question

设函数f（x）=a²x²（a＞0），g（x）=blnx．
（1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，试写出y=φ（x）的解析式及值域；
（2）关于x的不等式（x-1）²＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由函数图象的变换可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）．
（2）由题意可得（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，再由（1-a2） x2-2x+1＞0，求得实数a的
取值范围．
（3）设F（x）=f（x）-g（x）= x2-elnx，利用导数知识判断单调性，求出 x= 时，F（x） 取得最小值0．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y=kx+-k，由 f（x）≥kx+-k，对x∈R恒成立，求得k=．
再利用导数证明g（x）≤- （x＞0）恒成立，从而得到所求“分界线”方程．
【解析】
（1）由题意可得 φ（x）=a2 （x-1）2 ，值域为[0，+∞）．  …（2分）
（2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a＞1，
∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a）x-1][（1+a）x-1]＞0，
所以 ，又因为 ，
所以 ，解之得  ．  …（6分）
（3）设F（x）=f（x）-g（x）= x2-elnx，则 F′（x）=x-=．
所以当 0＜x＜ 时，F′（x）＜0；当 x＞ 时，F′（x）＞0．
因此 x= 时，F（x） 取得最小值0，
则 f（x）与g（x）的图象在x= 处有公共点 （，）．   …（8分）
设f（x）与g（x）存在“分界线”，方程为 y-=k（x-），即 y=kx+-k，
由 f（x）≥kx+-k，对x∈R恒成立，
则 x2-2kx-e+2k≥0 在x∈R恒成立．
所以△=4k2-4（2k-e）=4≤0成立，因此 k=．…（10分）
下面证明 g（x）≤- （x＞0）恒成立．
设G（x）=elnx-x+，则 G′（x）==．
所以当  0＜x＜ 时，G′（x）＞0；当  x＞ 时，G′（x）＜0．
因此 x= 时，G（x）取得最大值0，则 g（x）≤- （x＞0）成立．
故所求“分界线”方程为：y=-． …（14分）