Question

本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（Ⅰ）直线l₁：x=-4先经过矩阵作用，再经过矩阵作用，变为直线l₂：2x-y=4，求矩阵A．
（Ⅱ）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：p=2sin（θ+）．判断直线l和圆C的位置关系．
（Ⅲ）解不等式：|x|+2|x-1|≤4．

Answer

（Ⅰ）因为直线l1经矩阵A所对应的变换得直线l，直线l又经矩阵B的变换得到直线l2．故直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l2，故可求出矩阵BA，即求出参量m，n得矩阵A．
（Ⅱ）将直线l的参数方程的参数t消去即可求出直线的普通方程，利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出圆的直角坐标方程；欲判断直线l和圆C的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较．
（III）根据题意，对x分3种情况讨论：①当x＜0时，②当0≤x＜1时，③当x≥1时；在各种情况下．去掉绝对值，化为整式不等式，解可得三个解集，进而将这三个解集取并集即得所求．
【解析】
（Ⅰ）【解析】
根据题意可得：直线l1经矩阵BA所对应的变换可直接得到直线l2
BA= =，得l1变换到l2的变换公式 ，
则由l2：2x-y=4得到直线2[（4+n）x+（m-4）y]-[-nx+4y]-4=0，即（3n+8）x-（2m-12）y-4=0
即直线l1：x=-4，比较系数得m=6，n=-3，
此时矩阵A=
（II）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，
ρ=2 sin（θ+），即ρ=2（sinθ+cosθ），
两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），
得⊙C的直角坐标方程为（x-1）2+（x-1）2=2；
圆心C到直线l的距离d==＜，
所以直线l和⊙C相交．
（III）根据题意，对x分3种情况讨论：
①当x＜0时，原不等式可化为-3x+2≤4，
解得-≤x＜0，
②当0≤x≤1时，原不等式可化为2-x≤4，即x≥-2
解得0≤x≤1，
③当x≥1时，原不等式可化为3x-2≤4，
解得 1＜x≤2．
综上，原不等式的解集为{x|-≤x≤2}．