Question

在直角坐标系xOy中，动点A，B分别在射线和上运动，且△OAB的面积为1．则点A，B的横坐标之积为    ；△OAB周长的最小值是    ．

Answer

根据题意，OA、OB的斜率之积为-1，得OA⊥OB．设A（x1，x1），B（x2，-x2），算出|OA|=x1，|OB|=2x2，结合三角形面积为1列式，化简即得x1x2=．再由基本不等式算出△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2，当且仅当x1=2x2=时，△OAB周长取最小值2（1+）．
【解析】
∵的斜率k1=，的斜率k2=
∴k1•k2=-1，可得OA⊥OB
设A（x1，x1），B（x2，-x2）
∴|OA|==x1，|OB|==2x2，
可得△OAB的面积为S=|OA|×|OB|=×x1×2x2=1
解之，得x1x2=
∵|AB|2=|OA|2+|OB|2=x12+4x22
∴|AB|=≥===2
又∵|OA|+|OB|=x1+2x2≥2=2=2=2
∴△OAB周长|OA|+|OB|+|AB|≥2+2=2（1+）
当且仅当x1=2x2=，即x1=，x2=时，△OAB周长取最小值2（1+）
故答案为：，2（1+）