Question

如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：FC∥平面EAD；
（Ⅲ）求二面角A-FC-B的余弦值．

Answer

（Ⅰ）设AC与BD相交于点O，连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．由FA=FC，知AC⊥FO．由此能够证明AC⊥平面BDEF．
（Ⅱ）因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，所以AD∥BC，DE∥BF，平面FBC∥平面EAD．由此能够证明FC∥平面EAD．
（Ⅲ）因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立空间直角坐标系O-xyz．设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以 ，．求得平面BFC的法向量为，平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由此能求出二面角A-FC-B的余弦值．
（Ⅰ）证明：设AC与BD相交于点O，
连接FO．因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，且O为AC中点．   …（1分）
又 FA=FC，所以 AC⊥FO．  …（3分）
因为 FO∩BD=O，
所以 AC⊥平面BDEF．  …（4分）
（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD与BDEF均为菱形，
所以AD∥BC，DE∥BF，
所以 平面FBC∥平面EAD．…（7分）
又FC⊂平面FBC，所以FC∥平面EAD．      …（8分）
（Ⅲ）【解析】
因为四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
所以△DBF为等边三角形．
因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．
由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz． …（9分）
设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，
则BD=2，所以OB=1，．所以 ．
所以 ，．
设平面BFC的法向量为=（x，y，z），
则有，
取x=1，得．
∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．    …（11分）
由二面角A-FC-B是锐角，得|cos＜，＞|==．
所以二面角A-FC-B的余弦值为．…（12分）