Question

设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2012π），则函数f（x）的各极小值之和为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e2kπ+2π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．
【解析】
∵函数f（x）=ex（sinx-cosx），
∴f′（x）=（ex）′（sinx-cosx）+ex（sinx-cosx）′
=2exsinx，
∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，
∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）=ex（sinx-cosx）递增，
故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，
其极小值为f（2kπ+2π）=e2kπ+2π[sin（2kπ+2π）-cos（2kπ+2π）]
=e2kπ+2π×（0-1）
=-e2kπ+2π，
又0≤x≤2012π，
∴函数f（x）的各极小值之和S=-e2π-e4π-e6π-…-e2010π
=
=-．
故选D．