Question

令．如果对k（k∈N^*），满足f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，则称k为“好数”，那么区间[1，2012]内所有的“好数”的和S=    ．

Answer

先利用换底公式与叠乘法把f（1）•f（2）•…•f（k）化为log2（k+2）；然后根据f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，可得k=2n-2；由此求得[1，2011]内所有的“好数”的和 S=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）的值．
【解析】
∵f（n）=logn+1（n+2）=，（n∈N*），
∴f（1）f（2）f（3）…f（n）=••…==log2（k+2）．
又∵f（1）•f（2）•…•f（k）为整数，∴k+2必须是2的n次幂（n∈N*），即k=2n-2．
∴[1，2011]内所有的“好数”的和为 S=（22-2）+（23-2）+（24-2）+…+（210-2）
=22 +23+24+…+2n-2×9=-2×9=2026，
故答案为 2026．