Question

已知函数f（x）=sinx+cosx．
（Ⅰ）若的值；
（Ⅱ）求函数F（x）=f（x）•f（-x）+f²（x）的最大值和单调递增区间．

Answer

（I）首先得出f（-x）=cosx-sinx，进而化简sinx+cosx=2（cosx-sinx）得出tanx的值，然后将所求式子中的“1”用sin2x+cos2x替换，再分子分母同时除以cos2x，即可求出结果；
（II）先求出F（x）=cos2x+sin2x+1=（2x+）+1，然后就可以求出最大值和单调区间．
【解析】
（Ⅰ）∵f（x）=sinx+cosx，∴f（-x）=cosx-sinx．…（1分）
又∵f（x）=2f（-x），
∴sinx+cosx=2（cosx-sinx）且cosx≠0．…（3分）
∴===；…（6分）
（Ⅱ）由题知F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx⇒F（x）=cos2x+sin2x+1…（10分）
∴当时，．…（11分）
由解得，单调递增区间为   ．…（12分）