Question

（Ⅰ）在平面直角坐标系中，已知某点P（x，y），直线l：Ax+By+C=0．求证：点P到直线l的距离．
（Ⅱ）已知抛物线C：y²=4x的焦点为F，点P（2，0），O为坐标原点，过P的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若向量在向量上的投影为n，且，求直线l的方程．

Answer

（Ⅰ）分类讨论，利用构造直角三角形的方法，可以证明结论成立；
（Ⅱ）当直线l⊥x轴时，与已知矛盾，设直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理，借助于，可得直线的斜率，从而可得直线l的方程．
（Ⅰ）证明：当A=0，B≠0时，直线l：y=-，点P到直线l的距离d=|+y|；
当A≠0，B=0时，直线l：x=-，点P到直线l的距离d=|+x|
当AB≠0时，如图，则R（，y），S（）
∴PR=||，PS=||
PQ是直角△PRS斜边上的高，由三角形面积公式可得PQ==
综上知，点P到直线l的距离．
（Ⅱ）【解析】
当直线l⊥x轴时，与已知矛盾；
故可设直线方程：y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）
∴，∴ky2-4y-8k=0
∴．
代入抛物线方程可得：
∵，∴cos2θ（x1x2+y1y2）=-2
∴，
解得tanθ=k=±1
∴l：x±y-2=0