Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）令，且数列{b_n}的前n项和为T_n满足，求n的最小值；
（Ⅲ）若正整数m、r、k成等差数列，且m＜r＜k，试探究：a_m，a_r，a_k能否成等比数列？证明你的结论．

Answer

（Ⅰ）利用，再写一式，两式相减，可得数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，由此即可求得数列{an}的通项公式an；
（Ⅱ）写出数列{bn}的通项，求出数列{bn}的前n项和为Tn，利用，即可求得n的最小值；
（Ⅲ）利用，am，ar，ak成等比数列，建立等式，从而可得2k-m+1=2×2r-m，根据2k-m+1为奇数，2×2r-m为偶数，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）∵S1=2a1-3，∴a1=3，…（1分）
由，可得an+1=2an+3，…（2分）
∴an+1+3=2（an+3），又a1+3=6≠0，…（3分）
∴数列{an+3}是以6为首项，2为公比的等比数列，
∴，
即；…（4分）
（Ⅱ）∵，
∴，…（5分）
∴=，…（6分）
∴等价于
∴2n+1≥64
∴n≥5，…（7分）
即n的最小值为5；    …（8分）
（Ⅲ）∵，am，ar，ak成等比数列，
∴，∴（2m-1）•（2k-1）=（2r-1）2
∴2m+k-2k-2m=22r-2×2r
由已知条件：正整数m、r、k成等差数列得m+k=2r，∴2m+k=22r，
∵2m+k-2k-2m=22r-2×2r
∴2m+2k=2×2r，…（10分）
∴上式可化为2k-m+1=2×2r-m，
∵m＜r＜k，m、r、k∈N*
∴k-m，r-m∈N*，∴2k-m、2r-m∈N*，
∴2k-m+1为奇数，2×2r-m为偶数，因此2k-m+1=2×2r-m不可能成立，
∴am，ar，ak不可能成等比数列． …（12分）