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已知数列{an}的前n项和为Sn,满足. (Ⅰ)求数列{an}的通项公式an; ...

已知数列{an}的前n项和为Sn,满足manfen5.com 满分网
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式an
(Ⅱ)令manfen5.com 满分网,且数列{bn}的前n项和为Tn满足manfen5.com 满分网,求n的最小值;
(Ⅲ)若正整数m、r、k成等差数列,且m<r<k,试探究:am,ar,ak能否成等比数列?证明你的结论.
(Ⅰ)利用,再写一式,两式相减,可得数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列,由此即可求得数列{an}的通项公式an; (Ⅱ)写出数列{bn}的通项,求出数列{bn}的前n项和为Tn,利用,即可求得n的最小值; (Ⅲ)利用,am,ar,ak成等比数列,建立等式,从而可得2k-m+1=2×2r-m,根据2k-m+1为奇数,2×2r-m为偶数,即可得到结论. 【解析】 (Ⅰ)∵S1=2a1-3,∴a1=3,…(1分) 由,可得an+1=2an+3,…(2分) ∴an+1+3=2(an+3),又a1+3=6≠0,…(3分) ∴数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列, ∴, 即;…(4分) (Ⅱ)∵, ∴,…(5分) ∴=,…(6分) ∴等价于 ∴2n+1≥64 ∴n≥5,…(7分) 即n的最小值为5;    …(8分) (Ⅲ)∵,am,ar,ak成等比数列, ∴,∴(2m-1)•(2k-1)=(2r-1)2 ∴2m+k-2k-2m=22r-2×2r 由已知条件:正整数m、r、k成等差数列得m+k=2r,∴2m+k=22r, ∵2m+k-2k-2m=22r-2×2r ∴2m+2k=2×2r,…(10分) ∴上式可化为2k-m+1=2×2r-m, ∵m<r<k,m、r、k∈N* ∴k-m,r-m∈N*,∴2k-m、2r-m∈N*, ∴2k-m+1为奇数,2×2r-m为偶数,因此2k-m+1=2×2r-m不可能成立, ∴am,ar,ak不可能成等比数列. …(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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