Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧面A₁ACC₁与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
①求侧面A₁ABB₁与底面ABC所成锐二面角的大小；
②求顶点C到侧面A₁ABB₁的距离．

Answer

①利用三垂线定理作出角，即作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB，所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角；
②求顶点C到侧面A1ABB1的距离，直接作出距离解三角形即可．
【解析】
①作A1D⊥AC，垂足为D，由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC
作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB．
所以∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中点，BC=2，AC=2
所以DE=1，AD=A1D=，∴tan∠A1ED==．
故∠A1ED=60°为所求．
②由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离．
连接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A1E⊥AB，知HB∥A1E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A1ED=60°
所以CH=BCsin60°=为所求．