Question

如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD的边BC垂直于圆O所在的平面，且AB=2，AD=EF=1．
（Ⅰ）设FC的中点为M，求证：OM∥平面DAF；
（Ⅱ）求三棱锥F-ABC的体积V_F-ABC．

Answer

（I）设DF的中点为N，连接MN、AN，利用三角形中位线定理并结合矩形ABCD的性质，得四边形MNAO为平行四边形，从而OM∥AN，可得OM∥平面DAF；
（II）在圆O中根据平面几何知识，得等腰梯形ABEF中，AF=BE=1且BF=，算出△ABF的面积，根据BC⊥平面ABEF，结合锥体体积公式可算出三棱锥F-ABC的体积VF-ABC．
【解析】
（Ⅰ）设DF的中点为N，连接MN、AN，则
∵△CDF中，M、N分别为CF、DF的中点
∴MN∥CD且MN=CD，
又∵矩形ABCD中，AO∥CD且AO=CD，
∴MN∥AO且MN=AO，得四边形MNAO为平行四边形         …（2分）
∴OM∥AN，又AN⊂平面DAF，OM⊄平面DAF…（4分）
∴OM∥平面DAF…（6分）
（Ⅱ）∵圆O中，EF∥AB，
∴AF=BE，四边形ABEF是等腰梯形
∵AB=2，AF⊥BF，EF=1
∴AF=BE=1，BF=，…（8分）
因此，…（10分）
又∵CB⊥平面ABEF
∴VF-ABC=…（12分）