Question

国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生王某在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．
签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．王某计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
（Ⅰ）用x和n表示王某第n个月的还款额a_n；
（Ⅱ）若王某恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x的值；
（Ⅱ）当x=40时，王某将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3000元的基本生活费？
（参考数据：1.05¹⁸=2.406，1.05¹⁹=2.526，1.05²⁰=2.653，1.05²¹=2.786）

Answer

（I）根据王某计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元，即可得到结论；
（Ⅱ）前12个月还款额是常数列，后二十四个月每月还款额构成一个等差数列，用数列公式求和，使和为24000，建立方程．解出每月应多还的数额．
（Ⅲ）前12个月还款额是常数列，后n-12个月每月还款额构成一个首项为500，公差为50的等差数列，用数列公式求和，使和不小于24000，建立不等式，解出n的范围，取最小整数．
【解析】
（Ⅰ）∵王某计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．
∴
（Ⅱ）依题意，从第13个月开始，每个月的还款额为an构成等差数列，其中a1=500+x，公差为x．
从而，到第36个月，王某共还款12×500+24a1+•x
令12×500+24×（500+x）+•x=24000，解之得x=20（元）．
即要使在三年全部还清，第13个月起每个月必须比上一个月多还20元．
（Ⅲ）设王某第n个月还清，则应有
整理可得n2+2n-1068=0，解之得，取n=32．
即王某工作32个月就可以还清贷款．
这个月王某的还款额为（元）
第32个月王某的工资为1500×1.0520=1500×2.653=3979.5元．
因此，王某的剩余工资为3979.5-900=3079.5，能够满足当月的基本生活需求．