Question

已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
（1）试求椭圆M的方程；
（2）若斜率为的直线l与椭圆M交于C、D两点，点为椭圆M上一点，记直线PC的斜率为k₁，直线PD的斜率为k₂，试问：k₁+k₂是否为定值？请证明你的结论．

Answer

（1）由椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，能求出椭圆M的方程．
（2）设直线l的方程为：，C（x1，y1），D（x2，y2），联立直线l的方程与椭圆方程，得x2+bx+b2-3=0，当△＞0时，即b2-4（b2-3）＞0，直线l与椭圆有两交点，由韦达定理，得：，由此能够得到k1+k2为定值．
【解析】
∵椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为2，
∴a=2，c=1，b=，
∴椭圆M的方程为．
（2）设直线l的方程为：，C（x1，y1），D（x2，y2），
联立直线l的方程与椭圆方程，得：

①代入②，得：，
化简，得：x2+bx+b2-3=0，③
当△＞0时，即b2-4（b2-3）＞0，
即|b|＜2时，直线l与椭圆有两交点，
由韦达定理，得：，
∴=，
=，
∴k1+k2=+
=
==0，
∴k1+k2为定值．