Question

已知函数f（x）=ln（x+2）-a（x+1）（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若x＞-2，证明：1-≤ln（x+2）≤x+1．

Answer

（1）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），f‘（x）=-a=，由a＞0，能求出函数f（x）的单调递区间．
（2）由（1）知，a=1时，f（x）=ln（x+2）-（x+1），此时f（x）的单调递增区间为（-2，-1），单调递减区间为（-1，+∞）．所以，x＞2时，=，由此能证明当x＞-2时，1-≤ln（x+2）≤x+1．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（-2，+∞），
f’（x）=-a==，
∵a＞0，=＞-2，
令f′（x）＞0，得-2＜x＜，
令f′（x）＜0，得．
所以函数f（x）的单调递增区间为（-2，），单调递减区间为（，+∞）．
（2）由（1）知，a=1时，f（x）=ln（x+2）-（x+1），
此时f（x）的单调递增区间为（-2，-1），
单调递减区间为（-1，+∞）．
所以，x＞2时，=，
∴当x∈（-2，-1）时，g′（x）＜0，
当x∈（-1，+∞）时，g′（x）＞0．
∴当x＞-2时，g（x）≥g（-1），
即ln（x+2）+-1≥0，
∴ln（x+2）．
所以，当x＞-2时，1-≤ln（x+2）≤x+1．