Question

如图，已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，F₁，F₂分别是椭圆的左、右焦点，B为椭圆的上顶点且△BF₁F₂的周长为4+2．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在这样的直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F₂恰为△BMN的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明由..

Answer

（1）根据椭圆（a＞b＞0）的离心率为，可得，利用△BF1F2的周长为4+2，可得，由此可求椭圆的方程；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心，设M（x1，y1），N（x2，y2），确定kMN=设l的方程为y=，代入，利用，，，即可求得满足条件的直线l的方程．
【解析】
（1）∵椭圆（a＞b＞0）的离心率为，∴①
∵△BF1F2的周长为4+2，∴②
由①②可得，∴
∴椭圆的方程为；
（2）假设存在直线使得直线l与椭圆交于M，N两点，且椭圆右焦点F2恰为△BMN的垂心
设M（x1，y1），N（x2，y2），∵B（0，1），F2（，0），∴kMF2=-，∴kMN=
设l的方程为y=，代入消元可得13x2+8mx+4（m2-1）=0
∴x1+x2=-，③
∵，，
∴==4x1x2+④
③代入④，可得4×-
∴（m-1）（5m+16）=0
∴m=1，或m=-
经检验，当m=1时直线l经过点B，不能构成三角形，故舍去
∴存在直线l：满足条件．