Question

已知数列{a_n}满足2^n-1a₁+2^n-2a₂+2^n-3a₃+…+a_n=n•2ⁿ，记所有可能的乘积a_ia_j（1≤i≤j≤n）的和为T_n．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求T_n的表达式；
（3）求证：+…+＜．

Answer

（1）由数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，知，由迭代法能求出．
（2）由aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，知Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）=（23-22）+（25-23）+…+（22n+1-2n+1），由此能求出Tn的表达式．
（3）由=，知＜=，由=＞=，知+…+＞（）+（）+…+（）=＞，由此能够证明+…+＜．
【解析】
（1）∵数列{an}满足2n-1a1+2n-2a2+2n-3a3+…+an=n•2n，
∴，
当n=1时，a1=2．
当n≥2时，，
，
两式相减，得，
∴．
（2）∵aiaj（1≤i≤j≤n）的和为Tn，
∴Tn=a1a1+（a1a2+a2a2）+（a1a3+a2a3+a3a3）+…+（a1an+a2an+a3an+…+anan）
=（23-22）+（25-23）+（27-24）+…+（22n+1-2n+1）
=-（2n+2-4）
=．
（3）∵
=
=，
∴＜=，
∵=
=
＞
=，
∴+…+＞（）+（）+…+（）
=
=＞，
∴+…+＜．