Question

设函数f（x）=ln（x+1）+ae^-x-a，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，证明f（x）在（0，+∞）是增函数；
（Ⅱ）若x∈[0，+∞），f（x）≥0，求a的取值范围．

Answer

（1）求导函数，当a=1时，可得，构造西红柿g（x）=ex-1-x，确定g（x）在（0，+∞）为增函数，从而可得x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，由此可得x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，得证；
（2）由于函数的最值不好确定，故进行适当的放缩，考虑，从而当1-a≥0，即a≤1时，对∀x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0；当a＞1时，可得时，f（x）＜f（0）=0，从而可得a的取值范围．
【解析】
（1），
当a=1时，，---------（2分）
令g（x）=ex-1-x，则g′（x）=ex-1，
当x∈（0，+∞）时，g′（x）=ex-1＞0，所以g（x）在（0，+∞）为增函数，
因此x∈（0，+∞）时，g（x）＞g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，
则f（x）在（0，+∞）是增函数．---------（6分）
（2）由，
由（1）知，ex≥1+x，当且仅当x=0等号成立．
故，
从而当1-a≥0，即a≤1时，对x∈[0，+∞），f′（x）≥0，
于是对∀x∈[0，+∞），f（x）≥f（0）=0．
由ex＞1+x（x≠0），得e-x＞1-x（x≠0），
从而当a＞1时，=
故当时，f′（x）＜0，
于是当时，f（x）＜f（0）=0，
综上，a的取值范围是（-∞，1]．---------（12分）