Question

已知正方形ABCD的边长为1，AC∩BD=O．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC=1，得到三棱锥A-BCD，如图所示．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A-BC-D．

Answer

（1）先证明AO⊥CO，由正方形的性质可得AO⊥BD，根据线面垂直的判定定理，可得AO⊥平面BCD．
（2）由（1）知AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出平面ABC和平面BCD的法向量，代入向量夹角公式，即可得到二面角A-BC-D的余弦值．
（1）证明：在△AOC中，∵AC=1，AO=CO=，∴AC2=AO2+CO2，∴AO⊥CO．
又∵AC、BD是正方形ABCD的对角线，∴AO⊥BD，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）【解析】
由（1）知，AO⊥平面BCD，则OC，OA，OD两两互相垂直，如图，

以O为原点，建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），A（0，0，），C（，0，0），B（0，-，0），D（0，，0）
∴=（0，0，）是平面BCD的一个法向量，，，
设平面ABC的法向量为，则由，可得
所以可取．
从而cos==，
∴二面角A-BC-D的余弦值为．