Question

某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球，已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为；若前次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，记第n次按下按钮后出现红球的概率为P_n．
（1）求P₂的值；
（2）当n∈N^*，n≥2时，
①求用P_n-1表示P_n的表达式；
②求P_n关于n的表达式．

Answer

（1）先求出第一次，第二次均出现红球，则概率为：，第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：，相加即得所求．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，可得 出现绿球的概率为：1-Pn-1 ，则由题意可得Pn=+ （1-Pn-1 ）化简求得结果．
②设 Pn+x=-（Pn-1+x），即 Pn=- Pn-1-． 令-=，解得 x=，故Pn-=- （Pn-1-），故{ Pn- }是等比数列，首项等于=，公比等于-，由此求得Pn关于n的表达式．
【解析】
（1）P2是“第二次按下按钮后出现红球”．
若第一次，第二次均出现红球，则概率为：=，
第一次出现绿球，第二次出现红球的概率为：=，
故所求概率为：P2=+=．
（2）①设第n-1次按下按钮出现红球的概率为：Pn-1，n∈N，n≥2，则出现绿球的概率为：1-Pn-1．
若第n-1次，第n次均出现红球，其概率为：，
若第n-1次，第n次依次出现绿球，红球，其概率为：（1-Pn-1），
∴Pn=+ （1-Pn-1 ）=-Pn-1，即Pn=-Pn-1，n∈N，n≥2．
②设  Pn+x=-（Pn-1+x），即 Pn=- Pn-1-．
令-=，解得 x=，∴Pn-=- （Pn-1-），
故{ Pn- }是等比数列，首项等于=，公比等于-．
∴= ，∴Pn=+．