Question

对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）-cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x₁，x₂，且x₁x₂＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ ）
A．①
B．②
C．①③
D．①②

Answer

①函数可用导数求出在（1，2）上是增函数，②函数是|log2x|与-的和函数，且两者在区间（1，2）上均是增函数，知是增函数．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上无数个零点．
【解析】
①f'（x）=4-，在区间（1，2）f'（x）＞0，f（x）在区间（1，2）上是增函数．使甲为真．f（x）的最小值是-1＜0当x=时取得．又f（1）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1＜；x2=1．   x1x2=x1＜1，使乙为真．
②在区间（1，2），|log2x|=log2x，是增函数．-也是增函数，两者的和函数也是增函数．使甲为真．利用信息技术f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2；0＜x1＜
1＜x2＜2．使乙为真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ-1，k∈Z，在区间（0，+∞）上有无数个零点．使乙为假．
故选D．