Question

在四边形ABCD中，||=12，||=5，||=10，||=||，在方向上的投影为8；
（1）求∠BAD的正弦值；
（2）求△BCD的面积．

Answer

（1）由||=||，可求∠ADC=90°在Rt△ADC中，，，可求BD，∠DAC的三角函数值，由在方向上的投影为8可求∠CAB的三角函数值，代入sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC可求
（2）由三角形的面积公式可求，，sin∠BAD而S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD可求
【解析】
（1）∵||=||，
∴以为邻边做平行四边形DAEC的对角线相等，即为矩形
∴∠ADC=90°，----（1分）
在Rt△ADC中，，，
∴，，，--（3分）
∵在方向上的投影为8，
，
∴，---（5分）
∵∠CAB∈（0，π），
∴
∴sin∠BAD=sin（∠DAC+∠CAB）=sin∠DACcos∠CAB+sin∠CABcos∠DAC
==---（7分）
（2）∵=39，---（8分）  
 =30，----（9分）
sin∠BAD=---（10分） 
∴S△BCD=S△ABC+S△ACD-S△ABD=---（12分）