Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，直线l过点且倾斜角为α，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C相交于A，B两点；
（1）若，求直线l的倾斜角α的取值范围；
（2）求弦AB最短时直线l的参数方程．

Answer

（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，把极坐标方程化为直角坐标方程，圆的圆心C（1，），半径等于 2，再利用利用弦长公式求得圆心到直线的距离 d取值范围，从而得到直线l的倾斜角α的取值范围．
（2）当弦AB最短时，直线l过点P且与CP连线垂直，又利用直线l经过点，且倾斜角α，写出直线的参数方程．
【解析】
（1）曲线C的极坐标方程为，即方程ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ，
化成直角坐标方程为：x2+y2=2x+2y．
即（x-1）2+（y-）2=4．
圆的圆心为C（1，），半径等于 2，
直线l过点且倾斜角为α，直线的普通方程为：y-=tanα（x-2），
即tanα•x-y+-2tanα=0，
圆心到直线的距离：
d=，
∵，∴d≤=，
即≤，
解得，-≤tanα≤．
∴≤α≤
直线l的倾斜角α的取值范围[，]；
（2）当弦AB最短时，直线l过点P且与CP连线垂直，
又直线CP的斜率为0，
∴当弦AB最短时，直线l的斜率不存在，即直线l垂直于x轴，
∴直线l的参数方程为（t为参数）．