Question

如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，垂足为点A，PA=AB=1，点M，N分别是PD，PB的中点．
（I）求证：PB∥平面ACM；
（II）求证：MN⊥平面PAC；
（III）若，求平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer

（I）证明PB∥平面ACM，利用线面平行的判定定理，证明PB平行于平面ACM内的一条直线即可；
（II）先证明BD⊥平面PAC，再证明MN∥BD，即可得到结论；
（III）以A为原点，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面MNF的法向量、平面ABCD的法向量，利用向量的夹角公式即可求得平面FMN与平面ABCD所成二面角的余弦值．
（I）证明：连接AC，BD，AM，MC，MO，MN，且AC∩BD=O
∵点O，M分别是PD，BD的中点
∴MO∥PB，PB⊄平面ACM
∴PB∥平面ACM．…（4分）
（II）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD
∴PA⊥BD
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD
∵PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC…（7分）
在△PBD中，点M，N分别是PD，PB的中点，∴MN∥BD
∴MN⊥平面PAC．…（9分）
（III）【解析】
PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，故以A为原点，建立空间直角坐标系
由可得
设平面MNF的法向量为 =（x，y，z）
∵…（11分）
∴，解得：
令x=1，可得=（1，1，5）…（13分）
∵平面ABCD的法向量为∴…（14分）