Question

已知函数（a＞0）．
（I）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（II）若不等式对x∈R恒成立，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可确定函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）确定函数的最小值，再解不等式，即可得到a的取值范围．
【解析】
对函数f（x）求导得：f'（x）=eax（ax+2）（x-1）…（2分）
（Ⅰ）当a=1时，f'（x）=e（x+2）（x-1）
令f'（x）＞0，解得 x＞1或x＜-2；
令f'（x）＜0，解得-2＜x＜1
所以，f（x）单调增区间为（-∞，-2）和（1，+∞），f（x）单调减区间为 （-2，1）．…（5分）
（Ⅱ） 令f'（x）=0，即（ax+2）（x-1）=0，解得或x=1（16分）
当a＞0时，列表得：

x 1 （1，+∞）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

…（8分）
对于时，因为，所以，∴f（x）＞0              …10 分
对于时，由表可知函数在x=1时取得最小值
所以，当x∈R时，…（11分）
由题意，不等式对x∈R恒成立，
所以得，解得0＜a≤ln5…（13分）