Question

给定为整数的k（k∈N^*）叫做希望数，则区间[1，2012]内的所有希望数的和为    ．

Answer

可利用对数换底公式将an=logn+1（n+2）（n∈N*），转化为an=，从而可求得第一个希望数为2，
第二个希望数为6，…第k个希望数为2k-2，利用数列的分组求和法即可求得答案．
【解析】
∵an=logn+1（n+2）=，
∴a1•a2=•=2，即第一个希望数为2=22-2，
又a1•a2…a6=•…=3，
∴第二个希望数为6=23-2，
…
∴第k个希望数为2k+1-2，
∵210=1024＜2012，211=2048＞2012，
∴区间[1，2012]内的所有希望数的和
S=（22-2）+（23-2）+…+（210-2）
=（22+23+…+210）-2×9
=-18
=211-22
=2048-22
=2026．
故答案为：2026．