Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，且f（x）在x=1处取得极大值2．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）记，求函数y=g（x）的单调区间；
（3）设h（x）=x²-2bx+4，若对任意x₁∈[-2，1]，∃x₂∈[1，2]使f（x₁）≥h（x₂），求b的取值范围．

Answer

（1）利用函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，可得b=0，利用在x=1处取得极值2，可得a=-1，c=3，从而可得y=f（x）的解析式；
（2）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可得函数的单调区间；
（3）根据题意f（x）min≥h（x）min，分类讨论，确定函数的最小值，解不等式，即可求b的取值范围．
【解析】
（1）∵函数f（x）=ax3+bx2+cx（a≠0，x∈R）为奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴-ax3+bx2-cx=-（ax3+bx2+cx）
∴b=0
∵在x=1处取得极值2，∴，
∴a=-1，c=3，
∴f（x）=-x3+3x；
（2）g（x）=-x2+3+（k+1）lnx，∴
当k＜-1时，g′（x）＜0，所以在（0，+∞）递减；
当k=-1时，g′（x）≤0，所以在（0，+∞）递减；
当k＞-1时，在 时，g′（x）＞0，g（x）递增；在，g′（x）＜0，g（x）递增．
（3）根据题意f（x）min≥h（x）min，f′（x）=-3x2+3=-3（x+1）（x-1）
所以x∈[-2，-1]递减，x∈[-1，1]递增，于是当x=1时，f（x）的最小值为-2
当b＞2时，f（x）min=-2≥h（x）min=8-4b，所以；
当1≤b≤2时，，所以或（舍去）
当b＜1，f（x）min=-2≥h（x）min=h（1）=1-2b+4=5-2b，所以（舍去）
所以．