Question

已知等差数列{a_n}的公差大于零，且a₂，a₄是方程x²-18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足b₃=a₃，S₃=13．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，由题意及a2＜a4，可求a2，a4，利用等差数列的通项公式可求a1，d，可求an，然后由等比数列的通项公式及求和可求b1，q，可求
（2）当n≤5时，Tn=a1+a2+…+an，利用等差数列的求和公式可求，当n＞5时，Tn=T5+（b6+b7+…+bn），利用分组求和及等差、等比数列的求和公式可求
【解析】
（1）设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则
由x2-18x+65=0解得x=5或x=13
因为d＞0，所以a2＜a4，则a2=5，a4=13
则，解得a1=1，d=4
所以an=1+4（n-1）=4n-3…（4分）
因为，因为q＞0，解得b1=1，q=3
所以…（7分）
（2）当n≤5时，Tn=a1+a2+…+an
=n+=2n2-n…（9分）
当n＞5时，Tn=T5+（b6+b7+…+bn）
=
=
所以…（14分）