Question

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①；②存在实数M，使a_n≤M．（n为正整数）．在以下数列
（1）{n²+1}；  （2）；  （3）；  （4）
中属于集合W的数列编号为（ ）
A．（1）（2）
B．（3）（4）
C．（2）（3）
D．（2）（4）

Answer

根据集合W是否满足①；②存在实数M，使an≤M．（n为正整数）这两个条件的集合，说明根据函数的单调性，判定数列是否存在最大值，从而可判定选项．
【解析】
（1）∵，
∴an+an+2-2an+1=n2+1+（n+2）2+1-2（n+1）2-2
=n2+n2+4n+4-2（n2+2n+1）
=2＞0，
∴，
∴（1）不属于集合W；
（2）∵an=，
∴an+an+2-2an+1=+-2×
=1-+1--2+
=--＜0，
∴①成立．
an==1-＜1，
满足集合W的两个条件，从而可知（2）属于集合W；
（3）∵，
∴an+an+2-2an+1=2++2+-4-
=＞0，
∴，
∴（3）不属于集合W；
（4）由an=1-，得an+an+2-2an+1≤0
所以数列{an}满足①；
当n趋向无穷大时，an=1-趋近于1，故an＜1，
满足集合W的两个条件，从而可知（4）属于集合W
故（2）（4）正确，
故选D．