Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC=CC₁，AB⊥BC．点M，N分别是CC₁，B₁C的中点，G是棱AB上的动点．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥平面BNG；
（Ⅱ）若CG∥平面AB₁M，试确定G点的位置，并给出证明．

Answer

（I）由直三棱柱的性质结合AB⊥BC，得AB⊥平面B1BCC1，从而B1C⊥GB，在等腰△BB1C中，利用中线BN⊥B1C，根据线面垂直的判定定理，得到B1C⊥平面BNG．
（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB1M．连接AB1，取AB1的中点H，连接HG、HM、GC，用三角形中位线定理，得到GH∥BB1且GH=BB1，在正方形B1BCC1中证出MC∥BB1且MC=BB1，所以GH与MC平行且相等，得到四边形HGCM为平行四边形，GC∥HM，最后结合线面平行的判定定理，得到CG∥平面AB1M．
【解析】
（I）：∵在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC=CC1=BB1，点N是B1C的中点，
∴BN⊥B1C…（1分）
∵AB⊥BC，AB⊥BB1，BB1∩BC=B
∴AB⊥平面B1BCC1…（3分）
∵B1C⊂平面B1BCC1
∴B1C⊥AB，即B1C⊥GB…（5分）
又∵BN∩BG=B，BN、BG⊂平面BNG
∴B1C⊥平面BNG…（6分）
（II）当G是棱AB的中点时，CG∥平面AB1M．…（7分）
证明如下：
连接AB1，取AB1的中点H，连接HG、HM、GC，
则HG为△AB1B的中位线
∴GH∥BB1，GH=BB1…（8分）
∵由已知条件，B1BCC1为正方形
∴CC1∥BB1，CC1=BB1
∵M为CC1的中点，
∴…（11分）
∴MC∥GH，且MC=GH
∴四边形HGCM为平行四边形
∴GC∥HM…（12分）
又∵GC⊈平面AB1M，HM⊂平面AB1M，
∴CG∥平面AB1M…（14分）