Question

已知椭圆（a＞b＞0）的长轴长为，点P（2，1）在椭圆上，平行于OP（O为坐标原点）的直线l交椭圆于A，B两点，l在y轴上的截距为m．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求m的取值范围；
（Ⅲ）设直线PA，PB的斜率分别为k₁，k₂，那么k₁+k₂是否为定值，若是求出该定值，若不是请说明理由．

Answer

（I）设椭圆方程为，将点P（2，1）代入，即可求得椭圆方程；
（II）l的方程代入椭圆方程，可得一元二次方程，利用直线l与椭圆交于A、B两个不同点，即可确定m的取值范围；
（III）利用韦达定理，及，可得k1+k2=0．
【解析】
（I）由已知可知…（1分）
设椭圆方程为，将点P（2，1）代入解得b2=2…（3分）
∴椭圆方程为                            …（4分）
（II）∵直线l平行于OP，且在y轴上的截距为m，又
∴l的方程为：y=（m≠0）…（6分）
代入椭圆方程，消元可得x2+2mx+2m2-4=0  ①…（7分）
∵直线l与椭圆交于A、B两个不同点，∴△=（2m）2-4（2m2-4）＞0，解得-2＜m＜2，且m≠0．
所以m的取值范围是（-2，0）∪（0，2）．…（9分）
（III）k1+k2=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），由①得．…（10分）
∵
∴
==
∴k1+k2=0…（14分）