Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对一切正整数n，点P_n（n，S_n）都在函数f（x）=x²+2x的图象上，记a_n与a_n+1的等差中项为k_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（Ⅲ）设集合，等差数列{c_n}的任意一项c_n∈A∩B，其中c₁是A∩B中的最小数，且110＜c₁₀＜115，求{c_n}的通项公式．

Answer

（I）根据点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，可得，再写一式，两式相减，即可求得数列{an}的通项公式；
（II）先确定数列的通项，再利用错位相减法求数列的和；
（III）先确定A∩B=B，再确定{cn}是公差为4的倍数的等差数列，利用110＜c10＜115，可得c10=114，由此可得{cn}的通项公式．
【解析】
（I）∵点Pn（n，Sn）都在函数f（x）=x2+2x的图象上，∴，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1．…（2分）
当n=1时，a1=S1=3满足上式，
所以数列{an}的通项公式为an=2n+1．…（3分）
（II）∵kn为an与an+1的等差中项
∴…（4分）
∴．
∴①
由①×4，得②
①-②得：=
∴…（8分）
（III）∵
∴A∩B=B
∵cn∈A∩B，c1是A∩B中的最小数，∴c1=6．
∵{cn}是公差为4的倍数的等差数列，∴．…（10分）
又∵110＜c10＜115，∴，解得m=27．
所以c10=114，
设等差数列的公差为d，则，…（12分）
∴cn=6+（n+1）×12=12n-6，
∴cn=12n-6．…（13分）