Question

若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续不断，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ-伴随函数．有下列关于λ-伴随函数的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个λ-伴随函数；
②f（x）=x²是一个λ-伴随函数；
③伴随函数至少有一个零点．
其中不正确    的结论的序号是    ．（写出所有不正确结论的序号）

Answer

根据已知中f（x）是λ-伴随函数的定义，我们易得f（x）=c≠0是-1-伴随函数，由此可以判断①的真假；根据f（x）是λ-伴随函数的定义，构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可判断②的真假；若f（x）是-伴随函数．则f（x+）+f（x）=0，根据零点存在定理，可以判断③的真假．进而得到答案．
【解析】
①不正确，原因如下．
若f（x）=c≠0，则取λ=-1，则f（x-1）-f（x）=c-c=0，既f（x）=c≠0是-1-伴随函数
②不正确，原因如下．
若 f（x）=x2是一个λ-伴随函数，则（x+λ）2+λx2=0．推出λ=0，λ=-1，矛盾
③正确．若f（x）是-伴随函数．
则f（x+）+f（x）=0，
取x=0，则f（）+f（0）=0，若f（0），f（）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（）均不为零，则f（0），f（）异号，由零点存在定理，在（0，）区间存在x，f（x）=0．
即-伴随函数至少有一个零点．
故答案为：①②．