Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，PA丄底面ABCD，AE丄PD于E，EF∥CD交PC于F，点M在AB上，且AM=EF．
（I）求证MF是异面直线AB与PC的公垂线；
（II）若PA=2AB，求二面角E-AB-D的正弦值．
（III）在（II）的条件下求点C到平面AMFE的距离．

Answer

（I）利用矩形，以及直线与直线的判定定理证明AM⊥MF，MF⊥PC，推出MF是AB与PC的公垂线；
（II）先判断∠EAD为二面角E-AB-D的平面角，再利用PA=2AB，可得二面角E-AB-D的正弦值；
（III）根据EF∥CD，可得点C到平面AMFE的距离等于D到平面AMFE的距离，证明DE为D到平面AMFE的距离，即可求得结论．
（I）证明：因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，
又AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥面PAD，
∵AE⊂面PAD，
∴BA⊥AE，
又AM∥CD∥EF，且AM=EF，
∴AEFM是矩形，∴AM⊥MF．
又因AE⊥PD，AE⊥CD，PD∩CD=D，故AE⊥面PCD，
∵MF∥AE，∴MF⊥面PCD，
∴MF⊥PC，
∴MF是AB与PC的公垂线．
（II）【解析】
由（I）知AB⊥面PAD，∴∠EAD为二面角E-AB-D的平面角
∵PA⊥AD，AE⊥PD，∴∠EAD=∠APD
∵PA=2AB，∴sin∠APD==
∴二面角E-AB-D的正弦值为．
（III）【解析】
∵EF∥CD，∴点C到平面AMFE的距离等于D到平面AMFE的距离．
∵DE⊥AE，DE⊥AB，AE∩AB=A
∴DE⊥平面AMEF
∴DE为D到平面AMFE的距离．
在直角△AED中，sin∠EAD=DE=
∴点C到平面AMFE的距离等于1．