Question

已知x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）＞0，证明：f（x）在R上为增函数；
（3）在条件（2）下，若f（1）=2，解不等式：f（x²+1）-f（2x+5）＜4．

Answer

（1）利用条件x，y∈R有f（x+y）=f（x）+f（y），分别赋值，令x=y=0，及y=-x，利用奇函数的定义可得结论；
（2）根据单调性的证题步骤：取值、作差、变形、定号、下结论，即可证明；
（3）先计算f（2）=2f（1）=4，再将抽象函数不等式转化为具体不等式，解不等式，即可得出结论．
（1）【解析】
∵x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=y=0，得f（0）=0；又令y=-x得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
所以f（-x）=-f（x），因此f（x）是R上的奇函数；…（4分）
（2）证明：设x1＜x2，则x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＞0
即f（x2）＞f（x1），因此f（x）在R上为增函数；…（9分）
（3）【解析】
∵f（1）=2，∴f（2）=2f（1）=4…（11分）
由f（x2+1）-f（2x+5）＜4，可得f（x2+1）＜f（2x+5）+f（2）
∴f（x2+1）＜f（2x+7）
由（2）可得x2+1＜2x+7，即x2-2x-6＜0
解得…（14分）